“El libro del Universo está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin cuya mediación es humanamente imposible comprender ni una palabra” (Galileo Galilei).


La existencia de una relación particular entre la física y las matemáticas goza de un reconocimiento universal. A través de la historia de la física abundan los testimonios explícitos en ese sentido, empezando por la célebre afirmación de Galileo: "La filosofía está escrita en ese inmenso libro siempre abierto ante nuestros ojos (el Universo), pero no se la puede comprender si no se aprende primeramente a conocer la lengua y los caracteres en que está escrito. Está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin cuya mediación es humanamente imposible comprender ni una palabra.”

Tres siglos después, el astrofísico Jeans escribió: “El Gran Arquitecto parece ser matemático.” Podría recopilarse una verdadera antología de citas de este estilo. Y cualquier capítulo de la física parece bueno como ejemplo para tales afirmaciones.

La física utiliza con éxito las matemáticas. No obstante este enunciado, lejos de ser como aparenta una estricta constatación, está cargado de presupuestos, aunque resuma una visión inmediata de la situación. Pero lleva directamente a preguntarse por las causas de ese éxito. ¿Cómo puede ser que las matemáticas, reputadas en general como estudio de abstracciones puras, “funcionen” en física, considerada como la ciencia de lo concreto por excelencia? Los propios físicos dan fe a menudo, con una sorpresa ingenua o en términos de una confesión incómoda, de que esta adecuación plantea un problema: “Sin embargo, es notable que ninguna de las construcciones abstractas que la matemática realiza, teniendo exclusivamente como guía su necesidad de perfección lógica y de generalidad creciente, parezca que haya de permanecer sin utilidad para el físico. Por una singular armonía, las necesidades del pensamiento, preocupado por construir una representación adecuada de la realidad, parecen haber sido previstas y anticipadas por el análisis lógico y la estética abstracta del matemático” (P. Langevin). “La idea de que las matemáticas podían adaptarse, de algún modo, a los objetos de nuestra experiencia me parecía extraordinaria y apasionante” (W. Heisenberg).


Las matemáticas constituyen el lenguaje de la física. Al texto citado de Galileo se le pueden añadir dos citas: “Todas las leyes se extraen de la experiencia, pero para enunciarlas se precisa de una lengua especial; el lenguaje ordinario es demasiado pobre, y es además demasiado vago, para expresar relaciones tan delicadas, tan ricas y tan precisas. Esta es la razón por la que el físico no puede prescindir de las matemáticas; éstas le proporcionan la única lengua en la que puede hablar” (H. Poincaré). “Las matemáticas constituyen, por decirlo así, el lenguaje por medio del cual puede plantearse y resolverse una pregunta” (W. Heisenberg).

Esta concepción de las matemáticas como lenguaje de la física puede, no obstante, interpretarse de varias maneras, según que dicho lenguaje se piense como el de la naturaleza, y que el individuo que la estudia deberá esforzarse por asimilar; o bien que se le conciba a la inversa, como el lenguaje del individuo, al cual habrán de traducirse los hechos de la naturaleza para que resulten comprensibles. La primera posición parece ser la de Galileo, también es la de Einstein: “ De acuerdo con nuestra experiencia hasta el momento, tenemos derecho a estar convencidos de que la naturaleza es la realización del ideal de la simplicidad matemática. La construcción puramente matemática nos permite encontrar esos conceptos, y los principios que los relacionan, que nos dan la clave para comprender los fenómenos naturales.” El segundo punto de vista es el de Heisenberg: “ Las fórmulas matemáticas ya no representan la naturaleza, sino el conocimiento que de ella poseemos”. Sin embargo, ambas actitudes, lejos de oponerse, no son sino los puntos extremos de un espectro continuo, y de lo que se trata es de encontrar un punto de equilibrio en el interior de una estructura que se apoya sobre los pares de nociones opuestas naturaleza-hombre, experiencia-teoría, concreto-abstracto, hechos científicos-leyes científicas.


Para el gran físico-matemático Roger Penrose, en cierta forma, la mente parece tener “acceso” al mundo de las ideas al que se refería Platón. Repasando alguna de las afirmaciones que hace en su libro “ La nueva mente del emperador”: Hasta qué punto son "reales" los objetos del mundo del matemático?. Desde un cierto punto de vista parece que no puede haber nada real en ellos. Los objetos matemáticos son sólo conceptos; son idealizaciones mentales que hacen los matemáticos, a menudo estimulados por el orden aparente de ciertos aspectos del mundo que nos rodea, pero idealizaciones mentales en cualquier caso. ¿Pueden ser algo más que meras construcciones arbitrarias de la mente humana? Al mismo tiempo parece que existe alguna realidad profunda en estos conceptos matemáticos que va más allá de las elucubraciones mentales de un matemático particular. En lugar de ello, es como si el pensamiento matemático estuviese siendo guiado hacia alguna verdad exterior —una verdad que tiene realidad por sí misma y que sólo se nos revela parcialmente a alguno de nosotros.


Para saber más: “Pensar la matemática”, de la serie Metatemas dirigida. Por Jorge Wagensberg de Tusquets Editores. Son artículos de varios autores. El post hace referencia al artículo de J.M Lévy-Leblond, profesor de la Universidad de Niza y gran divulgador de las matemáticas.
Sobre Penrose y el platonismo matemático: Ver enlace.


Parece que fue ayer, pero hoy hace un año que falleció mi padre. D.E.P.

Estamos atravesando una grave crisis mundial de la que nadie está seguro cómo saldremos. Se analizan cifras macroeconómicas y se diseñan planes para estabilizar el sistema, pero nada funcionará si no se tiene en cuenta el principal factor que subyace en toda crisis de un sistema: el factor humano, un factor a la vez estabilizante y desestabilizador.

Lo asombroso de la historia
Hay algo asombroso que siempre me ha llamado la atención sobre la historia. Ocurrió antes, ocurre ahora y, posiblemente, pasará siempre : la humanidad no parece saber, ni poder controlar realmente, hacia dónde va. Los acontecimientos se suceden y cuando todo parece amarrado y en su sitio, viene un nuevo incidente que lo desbarata todo, guerras, revoluciones, crisis económicas o cualquier otra catástrofe. Ante estas situaciones la historia, después de ocurridas, saca sus conclusiones y nos ayuda a impedir que vuelvan a repetirse, pero siempre hay algo que se nos escapa y todo vuelve a derivar en alguna nueva catástrofe, todo vuelve a empezar de nuevo.

Efecto mariposa
En física existen unos sistemas que son sumamente sensibles a las condiciones iniciales. Por muy bien que se conozcan las variables que van a influir en su desarrollo, por muy sofisticados que lleguen a ser los instrumentos que las midan, siempre habrá una mínima incertidumbre que influirá, decisívamente, en el desarrollo posterior del sistema. Una mínima causa será capaz de desencadenar grandes consecuencias. Ese efecto es conocido, popularmente, con el nombre de “efecto de la mariposa”. De forma exagerada, pero muy gráfica, se explica que el simple vuelo de una mariposa, en África, puede desencadenar, con el tiempo, un huracán en China. El primero de esos sistemas que se estudió, allá por los años sesenta, fue el tiempo metereológico.

Efecto mariposa e historia
Desde el primer momento, en que tuve conocimiento de este curioso tipo de sistemas físicos, me recordó al propio devenir de la historia. Conocemos miles de pequeñas anécdotas que influyeron, decisivamente, en el posterior desarrollo de acontecimientos sumamente importantes. Cualquiera de esas minúsculas causas, al desarrollarse de modo distinto, habría cambiado el destino de cualquier país o del mundo. La historia ha transcurrido, durante miles de años, cuajada de millones de acontecimientos de mayor o menor significado, entrelazados de forma aleatoria o no. En muchos sentidos, podría ser considerada como un sistema “muy sensible a las condiciones iniciales”, un sistema no lineal y con infinidad de realimentaciones. Afortunadamente, los manipuladores que intentan, e intentarán, cambiar el destino de las naciones, difícilmente, podrán tener en cuenta todas las variables necesarias para conseguir su propósito. A muy corto plazo puede que sus cálculos sean correctos, pero a medio y largo plazo se equivocarán. Los pequeños errores de cálculo, conforme se desarrollan los acontecimientos, van teniendo mayor influencia en los resultados hasta llegar a desfigurarlos. Las actuaciones bienintencionadas se toparán, en principio, con los mismos inconvenientes ante el efecto multiplicador de los pequeños errores de cálculo sobre el sistema. Más ahora, que el efecto de la globalización trasforma al mundo en un sistema más sensible e inestable.

¿ Dignidad y estabilidad?
Aparte del factor puramente “físico”, de la incertidumbre, hay un elemento capital, en el desarrollo histórico, que el manipulador tiende a olvidar y que se alía con el “efecto de la mariposa” para desbaratar sus planes. Puede parecer poco científico, incluso irreal, pero, lejos de eso, obedece a una realidad constatable y sólida, y es un elemento esencial del factor humano: la dignidad humana. No actúa como motor de la historia sino más bien como “encauzador” del verdadero motor. Éste, por cierto, no es ajeno al egoísmo en sus más diversas formas, perversas en mayor o menor medida.

La relación que tratamos de establecer entre dos cantidades puede ser engañosa. En ocasiones los valores más lógicos de las mismas nos alejan de la realidad y del fenómeno que tratamos de estudiar. El sentido común nos puede dar una aproximación del resultado capaz de guiarnos para encontrar la solución correcta, la que se amolda de verdad a la realidad.



Supongamos que queremos relacionar dos cantidades que se corresponden con una realidad palpable, por ejemplo dos longitudes de un determinado objeto, y nos dan las siguientes medidas: 2 y 1/2, 3 y 1/3, 4 y 1/4, ... n y 1/n. Siendo n un número natural. La división entre ellas no nos ofrece ningún conflicto, será 4, 9, 16, ... n², nos está dando la cantidad de veces que una cantidad es mayor que otra. Sin embargo hay relaciones que pueden dar equívocos si nos dejamos guiar por el resultado puramente matemático. Por ejemplo, si nos fijamos en la figura que representa el fractal clásico llamado copo de Koch y su construcción, vemos que en cada iteración sustituimos un segmento de 3 unidades por cuatro segmentos de una unidad: justamente la relación entre log 4/ log 3 nos da la dimensión fractal de la figura, que es 1.261859… Si lo que queremos relacionar son las dos longitudes representadas por cualquier número natural N y su inverso 1/N, al hallar la relación similar a la anterior, del copo de Koch, nos encontramos con un valor negativo, -1, una dimensión negativa para un fractal, cuando físicamente no tiene ningún sentido, pues la dimensión fractal siempre es igual a la topológica (o dimensión aparente) más un coeficiente dimensional, tanto mayor cuanto más irregular es el fractal.


Matemático y lógico, Kronecker defendía que la aritmética y el análisis deben estar fundados en los números enteros prescindiendo de los irracionales e imaginarios. Fue autor de una frase muy conocida entre los matemáticos: "Dios hizo los naturales; el resto es obra del hombre" (Eric Temple Bell 1986, p.477. Men of Mathematics ).

Esa es la cuestión, en nuestro caso debemos convertir 1/N y N en dos nuevos números naturales que al relacionarnos, para expresar el valor que representa la dimensión del objeto, nos de un resultado coherente con la realidad que estamos observando. Las figuras que siguen a este párrafo nos aclaran el camino a tomar para encontrar una posible solución, para este caso particular.


Vemos la construcción de una figura cuando N=3, N=4 y N=5. En la primera figura si damos el valor 3 al lado, su perímetro será 27 (3³), pero si le damos el valor 1/3, su nuevo perímetro será 3. Así ocurre para N=4 ó N=1/4 , etc, y en general para cualquier valor N y 1/N (con N finito, aunque tan grande como queramos). Siempre ocurrirá que si el lado es N el perímetro será N³ y si el lado es 1/N el perímetro será N, sin que para ello varíe la forma de la figura.


La conversión natural será la que transforma la pareja de medidas (1/N, N) en (N, N³) y el valor irregular, -1, que encontrábamos para la dimensión fractal de la curva se convertiría en 3. Este valor le daría a la curva la capacidad de llenar el espacio. Es un fractal con dimensión entera, de forma similar al caso de un movimiento aleatorio puro, que de cada N² pasos realizado sólo se aleja N, de cualquier punto arbitrario de referencia que consideremos, y por tanto tiene una dimensión fractal igual a 2, capaz de llenar el plano.

En realidad, para nuestro caso (1/N, N), existen infinitas conversiones, responden a la expresión :

Dim. fractal (*)= 1 + 2/logL(N) , siendo L(N) el valor del lado que consideremos, como función de N. Para L(N)= 1/N tenemos el valor -1, para L(N)=N, le corresponde el valor 3, como hemos dicho. Para valores de exponente natural más negativos (1/N² ) y mayores la dimensión se acerca asintóticamente a l. Para valores mayores de N, como N², N³, o de mucho mayor exponente el valor asintótico será también 1.

Al final no podemos confiar ciegamente en el valor que nos dan las matemáticas, pues el mundo que representan es mucho más amplio que el mundo real y siempre necesitaremos de nuestro sentido común, en el análisis de los resultados encontrados. Por otra parte, paradójicamente, en ocasiones ocurre lo contrario: el sentido común nos ciega y nos impide ver una realidad más profunda que subyace en los resultados matemáticos.

(*)Tomando logaritmos en base N





Dualidad T, (1/N,N)



Como simple curiosidad, sobre el intercambio de valores 1/N y N, y como culturilla sobre teoría de cuerdas, todo esto puede recordarnos la llamada Dualidad-T:



En la expresión que representa los cuadrados de las energías de las excitaciones de una cuerda en un espacio con una dimensión curvada o compactada, K. Kikkawa y M. Yamanaka en 1984, observaron que la fórmula sigue teniendo el mismo aspecto si hacemos el intercambio R <--> 1/R. Siendo R el radio microscópico de la dimensión que se curva.

Desde un punto de vista físico esto indica que las energías de las excitaciones de una cuerda, cuando hay una dimensión extra de radio R, es la misma que la de una cuerda cuando el radio es 1/R. No ya las energías, sino todas las propiedades físicas de ambos sistemas son exactamente las mismas. Llama la atención, pues cuando R aumenta 1/R decrece, contradiciendo la experiencia de la vida diaria, que nos dice que las cosas pequeñas difieren de las grandes. Para una cuerda ello no es así.


Sobre "Unificación y dualidad en teoría de cuerdas", ver el número de agosto de 1998 de Investigación y Ciencia, de Luis E. Ibáñez Santiago.

Los fractales esconden bajo sus “arrugas” parte de sí mismos. Suponiendo la hipótesis de un vacío cuántico fractal, la escurridiza energía oscura podría ser la consecuencia de la estructura fractal de las fluctuaciones cuánticas del vacío que conforman todo el espacio.

La medida de la costa de Bretaña
Benoït Mandelbrot se preguntaba cuánto medía la costa de Bretaña, o cualquier costa real que suele ser irregular e intrincada. Un geógrafo se lo habría respondido perfectamente, pero no era esa la repuesta que buscaba Mandelbrot. El geógrafo da por sentado que al medir la costa tiene que hacerlo con unos criterios prácticos determinados, se atiene a ellos, la mide y la registra para siempre en los libros de geografía.

Para Mandelbrot, la pregunta era mucho más transcendente de lo que puede parecer a simple vista, porque se dio cuenta de que la medida dependía de la unidad de medida con la que fuera a efectuarse. Si la mínima unidad de medida a tomar fuera un kilómetro hallaríamos un valor, y si esa mínima unidad fuera el doble encontraríamos un resultado menor. Conforme la unidad utilizada es menor, al efectuar la medida nos acercamos mejor a las irregularidades del terreno y hallamos un valor mayor. Para una costa matemática teórica, de hecho, la unidad de medida la podemos hacer tender a cero tanto como queramos y el resultado obtenido siempre será mayor. En el límite la longitud de cualquier costa teórica es infinita.

Dimensión fraccionaria de una costa
Las costas son ejemplos sencillos de unos objetos matemáticos que Benoït Mandelbrot llamó fractales, porque su estructura es discontinua, rota o fracturada (del latín “fractus”) y mantienen el mismo aspecto a diferentes escalas. A diferencia de los objetos geométricos continuos que conocemos como líneas o planos, los fractales son capaces de “llenar” más espacio del que deberían llenar. Las costas fractales, como líneas que son, deberían tener la capacidad de llenar una dimensión, pero realmente llenan 1.25, 1.30, 1.35… etc. Su dimensión, que es fraccionaria, está entre la línea y el plano, es decir entre 1 y 2, y conforme son más irregulares mayor es su dimensión, a la que llamamos dimensión fractal.



Vacío clásico y vacío cuántico
El vacío clásico y continuo es, en cierta forma, como una costa lineal y regular, sin entrantes ni salientes. El vacío cuántico es muy diferente, sus fluctuaciones le confieren una estructura irregular que nos puede recordar la estructura fractal de las costas de los países. De “lejos” no es diferente del vacío clásico, pero de “cerca” nos ofrece una visión muy diferente, las fluctuaciones ganan protagonismo porque dependen del inverso de la distancia: a distancia mitad son el doble de intensas. Esta diferencia entre el vacío clásico y el cuántico se puede observar, perfectamente, tratando de seguir las trayectorias de las partículas subatómicas. En el vacío clásico estas están bien definidas y son líneas continuas, en el vacío cuántico no existen como tales, no son propiamente trayectorias pues conforme las tratamos de observar con más detalle, más irregulares aparecen. Son fractales con una dimensión 2.

¿Vacío cuántico como un fractal?
Todo esto hace pensar en la posibilidad de considerar el vacío cuántico como una fractal, en el que la energía de las fluctuaciones cuánticas determinaría su grado de irregularidad, y en base a su valor (un escalar) se podría calcular la dimensión fractal de estas fluctuaciones que conforman todo el espacio.

Lo que esconden los fractales y la energía oscura, una hipótesis
Entre dos puntos A y B del espacio euclídeo se puede trazar una recta. La distancia entre los dos puntos siguiendo esta recta es la longitud de la misma. Sin embargo si esa recta la convertimos en una costa fractal real (sin las infinitas irregularidades de una costa fractal matemática), la distancia entre los dos puntos, siguiendo la costa, se puede hacer todo lo grande que se desee dependiendo de la cantidad de irregularidades de la misma.

Si observamos esta línea costera en la distancia, las irregularidades se disimulan y su aspecto se acerca al de una línea mucho más regular. Su distancia aparente también estará cercana a la de la línea recta AB. Sabremos la distancia real AB a través de la costa fractal y la distancia aparente, vista la costa desde lejos. En cierta forma parece que ha desaparecido una parte de la costa, una parte que desde lejos no logramos observar, porque queda escondida entre las irregularidades del fractal.

Si suponemos la hipótesis fractal de las fluctuaciones cuánticas del vacío, ¿la parte escondida por este inmenso fractal podría ser la llamada energía oscura?




En la figura:(representación del vacío
cuántico), los trazos más anchos se corresponden con fermiones (quarks, electrones...) y sus antipartículas, mientras que los trazos más finos corresponden a bosones (gluones, fotones, W+, W-, Z0,...). En lo concerniente al color de los quarks y gluones, se corresponden con la carga de color de los mismos mientras que las partículas insensibles a la interacción fuerte aparecen en blanco o gris.)



Lo que sabemos hasta ahora de la energía oscura
La naturaleza exacta de la energía oscura es una materia de especulación. Se conoce que es muy homogénea, no muy densa y no se conoce la interacción con ninguna de las fuerzas fundamentales más que la gravedad. Como no es muy densa, unos 10−29 g/cm³, es difícil de imaginar experimentos para detectarla en laboratorio. La energía oscura sólo puede tener un profundo impacto en el Universo, ocupando el 70% de toda la energía, debido a que por el contrario llena uniformemente el espacio vacío.

Dos posibles formas de la energía oscura son la constante cosmológica, una densidad de energía constante que llena el espacio en forma homogénea y campos escalares como la quintaesencia: campos dinámicos cuya densidad de energía puede variar en el tiempo y el espacio. De hecho, las contribuciones de los campos escalares que son constantes en el espacio normalmente también se incluyen en la constante cosmológica. Se piensa que la constante cosmológica se origina en la energía del vacío. Los campos escalares que cambian con el espacio son difíciles de distinguir de una constante cosmológica porque los cambios pueden ser extremadamente lentos.
Para distinguir entre ambas se necesitan mediciones muy precisas de la expansión del Universo, para ver si la velocidad de expansión cambia con el tiempo. La tasa de expansión está parametrizada por la ecuación de estado. La medición de la ecuación estado de la energía oscura es uno de los mayores retos de investigación actual de la cosmología física.

La dimensión de un fractal está íntimamente relacionada con la manera en que éste se extiende por el espacio. Su dimensión nos da la capacidad del fractal de recubrir un espacio de dimensión topológica superior a la suya, de hecho, una trayectoria fractal de dimensión 2 es capaz de recubrir el plano, y de dimensión 3 el espacio tridimensional.

Imaginemos que en un espacio de tres dimensiones nos encontramos con una especie de diablillo virtual moviéndose aleatoriamente, con total libertad, y tratando de recubrirlo por completo. Su trayectoria será una línea quebrada, con infinidad de recovecos, cuyo fin será pasar por todos los puntos del espacio. Como línea de trayectoria que es su dimensión topológica será la unidad, pero su capacidad de recubrir el espacio nos indica que estamos ante un objeto geométrico diferente a los típicos objetos euclidianos que hemos estudiado en la escuela, como el punto, la línea o el plano de dimensiones cero, uno o dos. Este tipo de objetos es lo que Benoît Mandelbrot llamaba en 1975 objetos fractales, palabra que inventó a partir del adjetivo latino “fractus” (roto, fracturado).

Dimensión fractal. La dimensión que define la trayectoria del diablillo ya no es la dimensión clásica de una línea (la unidad), sino que a ella debemos añadir un coeficiente dimensional que nos indica su grado de irregularidad. La suma de los dos coeficientes nos da un nuevo valor dimensional al que llamamos dimensión fractal. En este caso hacemos la siguiente suma: dimensión geométrica clásica (1) + coeficiente dimensional (2) = dimensión fractal (3).


Dependencia con la distancia. Hay un detalle más que nos da una idea del movimiento que lleva el diablillo. La distancia total que recorre al cabo de N de sus pasos debe ser sólo la raíz cúbica de su alejamiento efectivo a un punto arbitrario, es decir para alejarse una distancia efectiva d, de un punto cualquiera, su recorrido total deberá ser d³. Este exponente (3) nos está dando, también, la dimensión fractal del movimiento. En cierta forma es lógico que sea así, pues el volumen que intersecta y recubre la trayectoria es del orden del cubo de su distancia característica (Volumen = Lado³).

En una trayectoria espacial fractal:

(1) Distancia total recorrida = Distancia efectiva^{(dimensión fractal)}


Siendo la dimensión fractal igual a la dimensión topológica más un coeficiente dimensional positivo, tanto mayor cuanto más intrincado sea el fractal, la expresión (1) quedaría:

(1) Distancia total recorrida = Distancia efectiva^{(dimensión topol. + coef. dimensional)}

¿Puede la geometría del espacio modificar la dimensión fractal?. Imaginemos una trayectoria fractal que pasa desde un espacio de 3 dimensiones a otro de 2. En la realidad podría ser el paso gradual de una tubería de 10 cm. x 10 cm. a otra de 0,1 cm. x 1000 cm., del mismo caudal. Para, depende que movimiento, el paso podría suponer cambiar, prácticamente, de 3 a 2 dimensiones. En la nueva situación la dimensión topológica habría descendido en una unidad, por lo que para el mismo coeficiente dimensional (que depende de la irregularidad del fractal), la nueva dimensión fractal sería menor. La disminución de dimensiones topológicas actúa de forma opuesta (restando) a como actúa el coeficiente dimensional (sumando). Al final obtendríamos, en la práctica, un movimiento menos irregular e intrincado.


Y sobre todo esto, en plan un tanto informal, añado un articulito que se publicó en la web de la Real Sociedad Española de Física, en el foro de debate sobre Física Divertida . Pocos meses antes se había publicado en la revista ImasD de ciencia y tecnología (revista en papel, posteriormente electrónica y hoy desaparecida: www.ImasD-tecnología.com).Otro articulo posterior, también muy sencillo, publicado por la Revista Elementos, de la Universidad Autónoma de Puebla: El sorprendente vacío cuántico.


El diablo Aleaxis y el efecto de ocultación de masa.


Aleaxis es un simpático e inconsciente diablillo que no para de dar pasos, a tontas y a locas de forma aleatoria, en cualquier dirección del plano. Su trayectoria es discontinua, puede ser representada por una línea quebrada que acabaría recubriendo todo el plano. En su torpeza, para recorrer una distancia efectiva de “n” pasos debe dar como media n x n , es decir n² pasos: su trayectoria, en realidad, representa un fractal, una estructura quebrada y discontinua de dimensión 2, la dimensión fractal que caracteriza al azar puro.

De forma similar, las fluctuaciones de energía del vacío (principio de incertidumbre) representan a otro diablo, esta vez real y poderoso, que hace mucho más interesante nuestro universo. Sin él el vacío estaría vacío, además de parecerlo, sería plano y estaría absolutamente quieto. Este diablo, un tanto escurridizo y nada torpe, arruga el espacio-tiempo y lo convierte en un fractal similar a la trayectoria de Aleaxis. Esta vez, para que nosotros observemos “n pasos” de fluctuación efectiva de energía, el diablo “da“ n x n x n pasos, es decir n³ .

Observando, solamente, los pasos efectivos de Aleaxis y sabiendo que su trayectoria es un fractal podemos inferir que existe un “efecto de ocultación de pasos”. De la misma forma, al observar las fluctuaciones efectivas de energía del vacío (son las únicas que podemos observar) deducimos que hay un poderoso “efecto de ocultación de energía “ (o masa, por el principio de equivalencia entre masa y energía).

El poderoso diablo de las fluctuaciones, además de arrugar el espacio-tiempo, enrolla parte de sus dimensiones para acentuar el “efecto de ocultación”. Si sólo se limitara a arrugarlo las fluctuaciones de la energía interferirían lo suficiente para no dejarnos ver el vacío como tal (al no depender del inverso de la distancia sino de su raiz cúbica). En la realidad dependen del inverso de la distancia: a grandes distancias su valor es despreciable, a pequeñas distancias es impresionantemente grande, contribuyendo a la impresión de un paradójico vacío “superdenso”. El diablo actúa como un verdadero mago: esconde ingentes cantidades de masa, detrás de sus arrugas enrolladas, hasta que hace “aparecer” el vacío. Sólo al acercarnos, “en las pequeñas distancias “, advertimos su truco.

Benoit Mandelbrot decía que la geometría fractal nos enseña a observar este viejo mundo con unos nuevos ojos. La existencia del cuanto de acción que está íntimamente unida a la propia naturaleza de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío obliga a que su estructura sea discontinua, escalonada, fractal, por ello la geometría fractal puede enseñarnos algo que antes no podíamos ver.

Creo que hay argumentos objetivos para considerar una mecánica cuántica fractal, es decir una mecánica cuántica bajo el punto de vista de la geometría fractal, pero en ciencia existen unas tendencias o modas de las que es difícil desviarse, aunque sea para dar un corto paseo. Ese puede ser uno de los problemas por los que se encuentra estancada la física actual.


Y no es una reflexión mía, lo dicen algunos de los mejores físicos de la actualidad, se nos está escapando algo que debemos tenerlo delante de nuestras narices y no somos capaces de verlo. Sinceramente, creo que los fractales pueden ayudarnos a encontrarlo.

Con los fractales, en cierta manera, deshacemos la abstracción que nos lleva a pasar de un objeto real a objetos geométricos ideales como una línea, un cubo o una esfera, y nos acercamos un poco más a dicho objeto real. Benoït Mandelbrot utiliza el ejemplo sencillo de algo real, como son las costas de los países, para aproximarnos a los fractales. Son líneas quebradas que siguen teniendo un aspecto parecido cuando cambiamos de escala. Precisamente estas dos propiedades son las que definen a un fractal: discontinuidad (rotura, fractura, de ahí su nombre) y autosemejanza con el cambio de escala. Medimos su grado de fractura e irregularidad con un simple número que llamamos dimensión fractal.

Al respecto es importante repasar el concepto de estructura fractal de Kenneth Falconer en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”, en 1990. En ella describe un concepto de estructura fractal ‘F’ como la que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:

(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de observación;
(2).- No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente;
(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;
(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica;
(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.


Benoit Mandelbrot decía que la geometría fractal nos enseña a observar este viejo mundo con unos nuevos ojos. La existencia del cuanto de acción que está íntimamente unida a la propia naturaleza de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío obliga a que su estructura sea discontinua, escalonada, fractal, por ello la geometría fractal puede enseñarnos algo que antes no podíamos ver.

Curiosamente, si buscamos en google "mecánica cuántica fractal" o bien en inglés "Fractal quantum mechanics", practicamente no encontramos nada. En español he encontrado este estupendo enlace a Ciencia Kanija. En mi entrada sobre "Diez dimensiones, supercuerdas y fractales"(*), podéis leer algo más sobre todo esto. Un saludo amigos.

(*)La Universidad de Chile, en su revista Ciencia Abierta , me publicó el artículo “ Estabilización del vacío cuántico y dimensiones enrolladas”, ( después otros dos más completos) sobre la posibilidad de que el estudio de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío nos estuviera evidenciando, indirectamente, la existencia de las 6 dimensiones enrolladas que necesita la teoría de supercuerdas. Los cálculos parecen indicar que en el estado en que se adoptó la configuración de 3 dimensiones ordinarias y 6 compactadas, debió decidirse la propia naturaleza del cuanto de acción

En la vida como en el mundo del conocimiento necesitamos un grado mínimo de estabilidad y certeza. Esa tendencia natural ha llevado a tratar de perpetuar lo establecido tanto en las costumbres como en el saber, pero, nos guste o no, el propio cambio es inherente en el proceso de la vida y en el del conocimiento. En el post sobre la geometría clásica euclidiana se comentaba esa resistencia al cambio que llevó a la Iglesia a considerar el saber clásico como saber divino tendiendo, por ello, a perpetuarlo como inmutable. Al final del siglo XIX los físicos se encontraban muy satisfechos con los importantes avances conseguidos hasta entonces, y muchos de ellos creían que se había llegado a una especie de final definitivo del conocimiento físico del mundo. Sin embargo, en apenas cinco años cambió todo con la teoría de la relatividad y el nacimiento de la mecánica cuántica.


Desde las certezas que parecía darnos la mecánica clásica de Newton sobre la posición, trayectoria y velocidad de cualquier partícula microscópica o cuerpo celeste se nos echaba en brazos de la indeterminación cuántica. Ya no podía conocerse simultáneamente la posición y la velocidad de una partícula con la infinita exactitud que se suponía, y el principio de indeterminación de Heisenberg parecía habernos desterrado del paraíso de las certidumbres clásicas. Pero ese paraíso nunca existió en realidad, desde un punto de vista puramente clásico se puede demostrar que la predictibilidad que se suponía a los sistemas clásicos nunca fue esencialmente cierta. Independientemente de la precisión con que conozcamos el estado inicial de un sistema clásico (no cuántico) las imprecisiones tienden a crecer, de forma natural, con el tiempo y nuestra información inicial puede llegar a ser inútil para predecir su evolución futura. La mecánica clásica no es tan predecible como podría parecer a primera vista. Esta impredecibilidad se advierte claramente en el llamado problema de los tres cuerpos y se acentúa de forma dramática en los sistemas muy sensibles a las condiciones iniciales (caóticos).

La estabilidad y cohesión que advertimos en la materia es resultado directo de fenómenos cuánticos, no podría conseguirse con las leyes de la mecánica clásica, que funcionan bien con la simplificación que supone tratar cuerpos compuestos por millones de partículas como si fueran puntuales. Esto es consecuencia de una propiedad esencial de los sistemas clásicos puesta de manifiesto por un hermoso teorema debido al matemático francés Joseph Liouville . El aparentemente simple equilibrio que se mantiene en un átomo entre los electrones y el núcleo sólo la mecánica cuántica es capaz de explicarlo, para la mecánica clásica el resultado sería catastrófico pues sus leyes lo impedirían.


La indeterminación cuántica y el sorprendente vacío cuántico, animado por un frenético baile de fluctuaciones y partículas virtuales, pueden explicarnos desde el propio nacimiento de todo el inmenso Universo a partir de la nada a los mecanismos básicos de la consciencia. Cuando pienso en el paso del viejo mundo de la mecánica clásica al nuevo de la mecánica cuántica, me viene a la memoria el cuento de la princesa desterrada del mundo de las hadas que apareció en el mundo real. Le costó entenderlo, pero cuando lo hizo se dio cuenta de que las simplezas de su viejo mundo eran completamente irreales y ya no podían llenar su vida.


El mundo de la imaginación, de los cuentos y las hadas, surge de las idealizaciones de nuestro mundo real. De forma parecida podría emerger lo clásico desde la realidad cuántica, una realidad directamente incomprensible para el sentido común que debe convertirse en clásica para que nuestra vida tenga sentido. El proceso es todavía desconocido, es una especie de paso mágico desde la coherencia cuántica, no local e indiferenciada, a la concreción que advierten nuestros sentidos. El desarrollo de la mecánica cuántica cuyo futuro está irremediablemente unido al de la relatividad general promete mostrarnos una realidad todavía más sorprendente.

He recuperado este post de mi colaboración con Libro de Notas, mis agradecimientos a Microsiervos que tuvieron el detalle de reseñarlo en su día. Estoy disfrutando unos días de vacaciones en la bella costa de Málaga, así que perdonad si no contesto muy rápido los comentarios. Unas felices vacaciones amigos.

¿Es posible que el tiempo sea un espejismo que crea nuestra memoria? Si la realidad fuera una sucesión de AHORAS que sólo podemos enlazar con nuestra memoria, el tiempo en sí no existiría. Esa es la teoría del físico inglés Julian Barbour, que junto con otros físicos de primer orden como Carlo Rovelli creen que el tiempo no es una magnitud fundamental, en línea con la creencia de grandes físicos como Wheeler y De Witt que hallaron la expresión, que lleva su nombre, en la cual no aparece el tiempo como variable explícita.



En un reciente post (2009/05/06) hablaba de la inquietud que me habían producido las reflexiones del eminente físico Lee Smolin sobre el tiempo. Así llevo un tiempo, y acabo de descubrir a través del estupendo blog Con-Ciencia una interesantísima conversación sobre el tiempo con el físico inglés Julian Barbour. Su idea básica es que el tiempo como tal no existe. No existe un río invisible del tiempo, independientemente de los sucesos que ocurren en él. Pero hay cosas que podríamos llamar instantes de tiempo, o "Ahoras" y nos movemos a través de esos "Ahoras". La pregunta es, ¿cuáles son esos ahoras?Según Barbour, son arreglos de cada cosa que existe en el universo respecto al resto de él en cualquier momento, por ejemplo, ahora.

Barbour mantiene la idea de que existen muchas cosas diferentes a la vez en una clara relación mutua. La totalidad de interconexión básica entre todo se convierte en una cosa en si, en un momento. Y hay muchos de esos Ahoras, todos diferentes los unos de los otros. La gente está segura de que el tiempo esta ahí, pero que no pueden cogerlo. Pero para Barbour si no se puede obtener nada de él es porque no está allí en absoluto. Eso es lo que nosotros nos creemos, que existe el flujo de tiempo - y hasta vemos su movimiento - pero es, en realidad, una ilusión. Ha llegado a eso después de ver lo que la mecánica cuántica nos dice de como podría ser el universo.


El Dr. Barbour ha ganado recientemente un premio al escribir un ensayo sobre la naturaleza del tiempo.

El Dr. John Baez en su blog nos destaca el ensayo de su amigo Carlo Rovelli, “Forget time” en el que propone que la mecánica fundamental debe estar basada en la relación entre ciertas variables fundamentales, no en la evolución temporal de dichas variables. La descripción fundamental de la física no explicará qué es el tiempo, sencillamente, en dicha descripción el tiempo no existirá, no tendrá cabida. El tiempo será una magnitud derivada (fenomenológica) en dicha teoría fundamental sin tiempo.

La idea del ensayo proviene de que en la Teoría General de la Relatividad cada curva espacio-temporal tiene su propio tiempo (llamado tiempo propio). Cada observador tiene su propio tiempo y la teoría nos dice cómo debe calcular el de otro observador. Rovelli propone que la Gravedad Cuántica será una teoría sin tiempo global en la línea de la ecuación de Wheeler-De Witt, que carece de tiempo explícito. ¿Cómo surge el tiempo? Es una magnitud estadística, no fundamental. Cuando el número de grados de libertad crece emerge una noción “entrópica” del tiempo. Rovelli le llama “Hipótesis del Tiempo Térmico” (el tiempo es como la temperatura, a nivel microscópico es un concepto sin sentido).

Sobre la nada, el tiempo y la ecuación de Wheeler-De Witt (Dennis Overbye, Periódico La Nación)



Uno de los primeros intentos de imaginar que la nada es la fuente del todo ocurrió en 1965, cuando los doctores John Wheeler y Bryce De Witt, ahora en la Universidad de Texas, escribieron una ecuación que combina la relatividad general con la teoría cuántica. Desde entonces, los físicos han estado discutiendo sobre eso. La ecuación Wheeler-De Witt parece vivir en aquello que los físicos han apodado "superespacio": una suerte de ensamble matemático de todos los universos posibles: algunos llenos de vida y otros completamente desiertos; algunos en los que las constantes de la naturaleza y hasta el número de dimensiones son distintos del nuestro.

En la mecánica cuántica ordinaria, un electrón es pensado desplegándose por todo el espacio hasta que es medido y observado en un lugar determinado. De modo similar, nuestro propio universo se despliega por todo el superespacio hasta que, de alguna manera, es observado con sus cualidades y leyes particulares. Esto suscita otra pregunta: si nadie puede salirse del universo, ¿quién es el observador?
Para Wheeler, una posible respuesta es que simplemente seamos nosotros, por medio de actos mecánicos cuánticos de observación, en un proceso llamado "génesis por observación". "El pasado es teoría -escribió Wheeler-. No tiene existencia salvo en los registros del presente. Somos participantes, en un nivel microscópico, en la creación del pasado, al igual que del presente y del futuro."

La respuesta de Wheeler a San Agustín sobre el origen del Universo y del tiempo es que, colectivamente, "somos Dios", y que estamos siempre creando el universo.

El estudio de los cúmulos de galaxias nos ofrece una visión sorprendente del comportamiento de la materia oscura. Se compone de algún tipo de partícula que no interactúa con ninguna otra, es decir, es completamente idetectable más allá de su efecto gravitatorio.Una especie de sombra de la materia ordinaria, ¿ o quizás es al contrario?

Cuando Fritz Zwicky, el 1933, observó las velocidades de las galaxias en el cúmulo de Coma (la Cabellera de Berenice) no podía entender como aquella rica concentración de galaxias se mantenía unida. La media de las velocidades de las galaxias respecto al centro de masas del cúmulo superaba los 1000 Km/s. La masa necesaria para mantener estable el cúmulo habría de ser, según sus cálculos, muy superior a la masa correspondiente a las galaxias que lo forman. Dicho de otra forma, el campo gravitatorio generado unicamente por las galaxias no era, en absoluto, suficiente para evitar que se disgregaran por el espacio. El hecho de que el cúmulo se mantuviera gravitacionalmente ligado implicaba la necesidad de postular la existencia de una gran cantidad de materia oculta. Esta matería que se mantenía invisible al telescopio de 48 pulgadas de Monte Palomar con el cual Zwicky observaba el cúmulo podría existir en forma de estrellas frías o polvo y detectarla nada más sería posible con el posterior desarrollo de telescopios infrarrojos. Quizás la materia escondida podría estar en forma de gas muy caliente que emitiría en rayos X y que podría ser detectada mediante telescopios especiales que observaran el cúmulo en aquellas longitudes de onda desde fuera de la atmósfera.


Ambas observaciones se hicieron mucho después de los trabajos pioneros de Zwicky. En la década de 1980 se pudo comprobar que la mayor parte de materia ordinaria de un cúmulo está en forma de gas caliente con temperaturas de decenas de millones de grados. A estas temperaturas los átomos que componen el gas han perdido los electrones, decimos que están ionizados. Los electrones circulan a gran velocidad en un medio que llamamos plasma, cuando chocan con los iones sufren una frenada que se salda con la emisión de un fotón muy energético y se produce radiación en la banda X del espectro electromagnético.

Al observar un cúmulo de galaxias con un telescopio de rayos X desde el espacio, la imagen es muy diferente de la que se obtiene con un telescopio óptico. Se detectan extensas y difusas áreas de emisión de rayos X producidos por nubes de gas caliente atrapadas en el interior del cúmulo. El estudio de la temperatura e intensidad de esta radiación permite determinar la masa del cúmulo: una masa total unas cuatro veces superior a la masa luminosa del cúmulo. Poniendo números, podemos decir que el gas caliente que emite rayos X representa el 20% de la masa del cúmulo y las galaxias que observamos en el óptico e infrarrojos constituyen un 5% más. El 75% restante ha de ser materia oscura de naturaleza desconocida.

Hay una tercera vía para medir la cantidad de materia en un cúmulo de galaxias. Desde que Einstein lo propuso y Eddington lo comprobó experimentalmente, sabemos que la presencia de materia no sólo curva la trayectoria de los cuerpos en movimiento (por acción de la gravedad) sino que también hace curvar la trayectoria de los rayos de luz. Así se producen una serie de efectos peculiares: hay objetos que aparentemente cambian de posición a causa de la curvatura de la luz emitida por ellos, cambian de luminosidad aparente, y hasta padecen deformaciones en su forma. Estos cambios y deformaciones son más notorios cuando mayor es la cantidad de materia que la luz ha de atravesar. En un caso extremo, como es el de un cúmulo de galaxias, las deformaciones son muy fuertes, y perceptibles en imágenes realizadas con grandes telescopios, y en particular, con el telescopio espacial Hubble.


Si el cúmulo fuera una distribución extremadamente suave de materia, sin grumos, actuaría como una lente perfecta y produciría aumentos o distorsiones simples, pero como en realidad es extremadamente no homogeneo, el efecto se parece al que se produce cuando observamos a través de la base de un vaso de vidrio: aparecen arcos y deformaciones. Cuantificando este efecto, por ejemplo a través del número de arcos, las posiciones de estos, o el número de imágenes múltiples del mismo objeto, podemos medir la cantidad de materia que contiene el cúmulo.

Recientemente ha sido posible combinar todos estos tipos de medidas en un cúmulo muy interesante: el cúmulo de la Bala. Este cúmulo se compone en realidad de dos estructuras de galaxias, que aparentemente han chocado. Los dos grupos de galaxias se han atravesado, porque hace falta tener en cuenta que los cúmulos, aunque son muy densos en términos de número de galaxias, son en gran medida espacio vacío: dos cúmulos pueden perfectamente atravesarse sin que cada de las galaxias individuales choque. Así vemos que las dos agrupaciones de galaxias parecen ignorarse mútuamente, de hecho sólo podemos suponer que se han atravesado porque las respectivas velocidades indican que se alejan el uno del otro.

La componente gaseosa de los cúmulos, en cambio, no se puede atravesar alegremente. Cada uno arrastra su propio gas, y el choque entre estas dos bolas de fluido reproduce precisamente lo que esperamos. Ambos se atraviesan pero notan fuertemente los efectos de la colisión: pierden velocidad y además en uno de ellos aparecen estructuras debidas a la onda de choque.

¿Donde va, pues, la mayor parte de la masa del cúmulo? ¿Se comporta como el gas, percibe el choque, y se queda detrás respecto a las galaxias que se atraviesan como fantasmas? El mapa de densidad de materia obtenido gracias a este efecto de lente gravitatoria nos indica que, al contrario, la materia oscura que no vemos ha seguido perfectamente la trayectoria de las galaxias. es decir, cada uno de los agregados de materia oscura (el 75% de la masa total del cúmulo) no ha sentido en absoluto la presencia del otro.

Esta es, de hecho, una de las propiedades básicas de la materia oscura, una de las pocas bien establecidas, y una de las más misteriosas. La materia oscura se compone de algún tipo de partícula que no interactúa con ninguna otra, es decir, es completamente idetectable más allá de su efecto gravitatorio. No hay hoy en día dentro del modelo estandard de la materia que compone el universo partículas que cumplan esa propiedad. Hay esperanzas que ampliaciones de este modelo puedan llevar al descubrimiento de este tipo de partículas (los axiones o las partículas supersimétricas son algunos de los candidatos), pero tendremos que esperar a nuevos desarrollos en física de partículas. Quizás el Gran Colisionador de Hadrones (LHC) en Ginebra nos acerpue un paso en la solución de este dilema.

Explicación sobre la imagen del cúmulo de Bala. Superpuesto a la imagen visible se incluye el mapa de emisión del gas caliente (rosa) y el mapa de densidad de materia obtenido usando el efecto de lente gravitatoria (azul). Se puede observar como el gas caliente ha sufrido los efectos de la colisión, mientras que la fantasmagórica materia oscura ha seguido su camino sin inmutarse.

Este post es la traducción del artículo "La cara fosca de l`Univers", del último número de la revista "Mètode" de la Universidad de Valencia. Mis agradecimientos a la revista y a los autores: Vicent Martínez, del Observatori Astronòmic de la Universitat de València, y a Alberto Fernandez-Soto del Instituto de Física de Cantabria. He disfrutado con este artículo sobre la sorprendente materia oscura, y me queda la sospecha, como les pasa a muchos, de que algo fundamental se nos escapa. La comprensión de estas oscuras compañeras de la materia puede traernos una nueva revolución en la física y en la comprensión de nuestro Universo. Un saludo amigos.

De la interacción con nuestro entorno intercambiamos materia y obtenemos energía y conocimiento en bruto que después convertimos en ciencia y tecnología. La vida, los ecosistemas y las propias sociedades humanas son un tipo especial de estructuras llamadas disipativas que obtienen orden (disminuyen su entropía) a costa del entorno. Son estructuras abiertas que aumentan su información útil a partir de la información exterior. En el límite, este fenómeno es el que lleva a la ciencia a confirmar con experimentos la veracidad de sus teorías

Estructuras disipativas
En el equilibrio o cerca de él, no se produce nada interesante, todo es lineal. Cuando pueden ocurrir cosas sorprendentes es lejos del equilibrio: si llevamos un sistema lo bastante lejos del equilibrio, entra en un estado inestable con relación a las perturbaciones en un punto llamado de bifurcación. A partir de entonces la evolución del sistema está determinada por la primera fluctuación, al azar, que se produzca y que conduzca al sistema a un nuevo estado estable. Una fluctuación origina una modificación local de la microestructura que, si los mecanismos reguladores resultan inadecuados, modifica la macroestructura. Lejos del equilibrio, la materia se autoorganiza de forma sorprendente y pueden aparecer espontáneamente nuevas estructuras y tipos de organización que se denominan estructuras disipativas. Aparece un nuevo tipo de orden llamado orden por fluctuaciones : si las fluctuaciones del ambiente aumentan fuera de límite, el sistema, incapaz de disipar entropía a ese ambiente, puede a veces "escapar hacia un orden superior" emergiendo como sistema más evolucionado.

En estos nuevos tipos de estructuras y orden se basan la vida, la organización de un termitero, los ecosistemas y las propias organizaciones y sociedades humanas. Pero lo más importante es que este nuevo orden en el que el determinismo y el azar se llevan de la mano si que es un universal. Estas estructuras, al igual que la vida no aparecen y progresan por pura casualidad o accidente como se creía.


El método científico como límite del intercambio de información con el entorno.
Como comentaba en el post anterior, nuestros genes transportan una información preciosa conseguida del entorno a través de millones de años de intercambio y evolución. Nacemos, casi, como una hoja de papel en blanco, y a partir de entonces seguimos aprendiendo de nuestro exterior. De nuestros padres, de las demás personas y seres, del comportamiento de los otros, de todo lo que nos pasa y de la información que nos llega. Lo externo, como un todo, nos hace como somos. A la ciencia como estructura, en cierta forma le pasa igual. A través del método científico necesita, para avanzar, contrastar las teorías mediante experimentos que confirmarán o no su adecuación a la realidad. En ese sentido desde la menor prueba al mayor de los experimentos, son la forma de interactuar con el entorno para ganar en orden, información y complejidad. Experimentos tan formidables como los que se están realizando, o se realizarán, con el LHC nos permitirán confirmar un montón de teorías y suposiciones, o nos ayudarán a concebir otras nuevas, que seguirán cambiando nuestra sociedad y a nosotros mismos en un baile sin fin en la escala de la complejidad.


Y en ese curioso "baile", incluso si llega a ocurrir lo que se ha llegado a denominar "La singularidad" (singularidad tecnológica), la aparición de los ordenadores ultralistos (máquinas "más inteligentes que los seres humanos") como cuenta el artículo de 1993 escrito por el ingeniero informático y escritor de ciencia ficción Vernor Vinge, en el que sostiene que la aceleración del progreso tecnológico nos ha llevado "al borde de un cambio comparable a la aparición de la vida humana en la Tierra", la esencia no cambiará. En el hipotético futuro en el que las supermáquinas inteligentes o cualquier supercivilización nos supere, seguirá necesitando de su entorno para aprender y aprender cada vez más, seguirán necesitando contrastar sus hipótesis con la realidad y confrontando su tecnología con esa misma realidad.

Reflexiones: multiversos, espespacio-tiempo, mito
¿Hasta cuando? Hay un límite, nuestro universo no es infinito y su final será la llamada muerte térmica, la uniformidad total de la que ya no se podrá extraer ni energía ni información, el estado de máxima entropía y máximo desorden. Aunque haciendo una suposición más de ciencia ficción que de ciencia, antes de llegar a esto es de suponer que alguna de las civilizaciones más avanzadas habrá aprendido todo lo que se puede aprender sobre las leyes físicas de este universo, y podría tener una tecnología capaz de llevarla a otros universos en estados menos degradados (suponiendo que vivimos en un multiverso).


Entre todo esto, una reflexión más: seguimos suponiendo el espacio y el tiempo como el contenedor fundamental de todo lo que es y acontece en el universo (multiverso), pero las dos teorías física más formidables con las que contamos, la relatividad general y la mecánica cuántica y sobre todo su incipiente fusión a la que llamamos gravedad cuántica, nos cuentan que ni el espacio ni el tiempo son las entidades fundamentales que creemos sino que dimanan de otra puramente cuántica subyacente. El universo, el nuestro, tuvo un principio, pero ¿ el multiverso si existe tuvo un principio o siempre estuvo ahí? Es más, ¿tiene sentido seguir hablando en términos de tiempo y espacio, tal como los conocemos, sabiendo que hay alguna entidad cuántica más fundamental de la que emanan?

Primero fue el mito para explicar la realidad que no entendíamos, le han seguido la filosofía y la ciencia, y conforme avanzamos con ella nos va adentrando en un mundo que cada vez nos parece más mítico y menos real. Caminamos como un ciego que sólo cuenta con su inteligencia y su metódico bastón científico, y vivimos tiempos de grandes cambios que, espero, pronto (1) nos darán una nueva bella teoría sobre gravedad cuántica que nos ayude a entender mejor este mundo y a nosotros mismos. Un abrazo.

(1) Soy muy optimista.
La primera figura (estructuras disipativas) está tomada del estupendo blog "Hombres que corren con lobos"

Un amigo nos comenta sobre el interesantísimo cuento de Isaac Asimov:" La última pregunta". Os lo recomiendo.

Cada uno de los átomos que nos forman y las ideas que tenemos son ajenos.Todo cuanto somos lo sentimos muy dentro y muy nuestro, pero realmente proviene del exterior. Somos sistemas abiertos autoorganizados que necesitamos de la materia y de la información del entorno.

A diferencia de los sistemas cerrados, que no intercambian ni materia ni información con el exterior, nuestra entropía es capaz de disminuir, o, lo que es lo mismo, nuestra información y organización capaces de aumentar. Tomamos la información del exterior y ganamos en complejidad a costa de aumentar el desorden del entorno. En eso se basan los fundamentos de nuestra existencia.

Nuestros genes transportan una información preciosa conseguida del entorno a través de millones de años de intercambio y evolución. Nacemos, casi, como una hoja de papel en blanco, y a partir de entonces seguimos aprendiendo de nuestro exterior. De nuestros padres, de las demás personas y seres, del comportamiento de los otros, de todo lo que nos pasa y de la información que nos llega. Lo externo, como un todo, nos hace como somos.


Visto así, resulta difícil pensar que pudiera existir la vida a partir de un entorno caótico, sin leyes y sin orden. Sería completamente imposible, pues nuestro orden viene del entorno ordenado que nos rodea. De igual forma parece imposible pensar que nuestra inteligencia sea una pura casualidad, una isla entre un mundo sin inteligencia. Creo que nuestra inteligencia no puede aparecer en un mundo sin inteligencia, sin una inteligencia mucho mayor que la que disfrutamos en la actualidad. Los hombres del futuro y los seres mucho más inteligentes que nos sustituyan, sólo tienen una referencia que les permitirá seguir enseñándose y siendo cada vez más y más inteligentes. Esta referencia es su propio entorno, este universo, en cierta forma, inteligente que es capaz de transmitirnos orden e inteligencia. ¿Puede seguir haciendo seres cada vez más inteligentes un universo pura máquina-no inteligente?

En el post " El orden que vino de las estrellas", aclaraba que el orden, la baja entropía nos llega a través de la luz del Sol. "Pocos" rayos de radiación energética de baja entropía que nuestro planeta absorbe, y devuelve en forma de "muchos" rayos de radiación electromagnética de alta entropía. En el intercambio la Tierra se queda con la información, la baja entropía, suficiente para seguir soportando la vida y el orden que comporta. Por otra parte, también gracias a las estrellas, y a la fusión de los elementos primigenios, se formaron en su seno los elementos más pesados que forman nuestro cuerpo: carbono, nitrógeno, oxígeno, hierro, calcio, fósforo, etc.


Y todo comenzó con el Big Bang, que fue una explosión "en perfecto orden". No fue una explosión de la materia tal como entendemos que debe ser una explosión. Fue una explosión a partir de la cual se formó la materia y el espacio-tiempo. En cualquier explosión de un artefacto, se proyecta materia de forma desordenada hacia todas las direcciones, sobre un espacio ya existente, pero en la explosión inicial no fue así. El sistema que es el propio Universo comenzó su particular degradación entrópica, a partir de un mínimo de entropía, o de un máximo orden, que ha permitido el orden posterior de los sistemas que lo forman. Desde las galaxias o las estrellas hasta nuestro própio orden e inteligencia. Todo un misterio extraordinario, difícilmente entendible como pura casualidad.


A mi hija Alba. Por las eternas preguntas.

Conforme avanza nuestro conocimiento sobre el universo aparecen más interrogantes, vuelven las eternas preguntas que se han hecho los filósofos de todos los tiempos, aunque la perspectiva ha cambiado sustancialmente. Los principios básicos que vislumbramos sobre la gravedad cuántica nos indican que el propio espacio-tiempo no es el fundamental, eterno e inmóvil referente que siempre hemos creído sino que emerge de una entidad fundamental discreta (no continua) y su propia geometría debe estar inextricablemente ligada a las relaciones causales entre sucesos.


El libro "The trouble with physics", titulado en español " Las dudas de la física en el siglo XXI. ¿Es la teoría de cuerdas un callejón sin salida?", escrito por un gran físico, Lee Smolin, me hizo pensar en su momento, cuando lo leí, en muchas cosas (es un libro crítico con la teoría de cuerdas y un buen libro de física) pero sobre todo en una de gran calado sobre la propia naturaleza del tiempo. Smolin, reflexionando sobre la futura teoría capaz de armonizar la relatividad general de Einstein y la mecánica cuántica (gravedad cuántica), habla de que tiene la sensación de que tanto una como la otra teoría están profundamente equivocadas sobre la naturaleza del tiempo. Piensa que estamos pasando por alto algo muy importante y esencial sobre el mismo.

¿Solución o problema? El tiempo.
Sitúa el arranque del problema a principios del siglo XVII, cuando Descartes y Galileo introdujeron, de forma realmente genial, el tiempo como una especie de otra dimensión nueva del espacio. En una gráfica situaban el espacio en el eje de las x y el tiempo en el eje de las y, de forma que el propio movimiento aparecía como una curva estática. El movimiento, en cierta forma, se congelaba y el cambio se presentaba estático e inmutable. Desde entonces esta forma de entender el tiempo, según Smolin, ha influido de forma notable en nuestra propia concepción del mismo y, posiblemente, nos ha desviado de su esencia que todavía desconocemos.

Esta reflexión me llevó a escribir el post sobre el ritmo justo del azar. A partir de un conjunto completamente aleatorio de números construimos un movimiento aleatorio browniano cuyo ritmo o velocidad de alejamiento de un punto arbitrario queda perfectamente determinado: cada NxN pasos que da el movimiento sólo lo alejan una distancia efectiva N. Tomemos como tomemos los números aleatorios para construir el movimiento obtendremos el mismo ritmo, una especie de velocidad de alejamiento, obtenida a partir de un conjunto amorfo de números. Establecemos una velocidad fundamental, un ritmo, a los que está ligada tiempo y distancia (pasos). Además este ritmo está directamente relacionado con una característica puramente geométrica, la dimensión fractal de la trayectoria del movimiento.


Universo conexo y paradigma holográfico
Para mi, fenómenos como la no-localidad y la coherencia cuántica nos dan una clave de lo que estamos pasando por alto. No sólo nos equivocamos con el tiempo sino con nuestra percepción de la realidad. La realidad formada por realidades completamente separadas nos ha ayudado a avanzar, a establecer y asentar nuestras verdades científicas, pero quizás ha llegado el momento de considerar que la única forma de seguir adelante sea descartar esa desconexión, si queremos de verdad profundizar en la esencia de nuestro mundo.

¿Es posible que el paradigma holográfico sea el nuevo camino? Personalmente creo que sí, pero no es es significativo porque yo lo crea, sino porque lo piensan así importantes físicos como Jacob D. Bekenstein, el Premio Nobel Gerard `t Hooft, de la Universidad de Utrech, Leonard Susskind, Juan Maldacena, de la Universidad de Harvard, o David Bohm.

Mucho antes de conocer los resultados que da la gravedad cuántica a la singularidad que representa un agujero negro, en base al paradigma holográfico deduje una solución similar (que por otra parte, no es difícil de deducir). De la misma forma que una parte de un holograma, separada del mismo, es capaz de reproducir (aunque con menor nitidez) el holograma completo, supuse que un agujero negro representaba esa misma separación o desconexión del total del universo. En base a esto pensé que en el interior de la singularidad que representa la materia vuelve a proyectarse hacia nuevas regiones del espacio-tiempo, en cierta forma, como un nuevo universo con sus propias características. Siempre siguiendo este hipotético paradigma, se podría suponer que su constante de acción de Planck sería bastante más grande que en el nuestro, lo que supondría una menor definición y mayor incertidumbre (se correspondería con la menor nitidez en la holografía).


Materia-energía e información
No sabemos con total seguridad si todavía existe un nivel de estructuración de la materia aún oculto para nosotros. En este caso los quarks y leptones serían formaciones compuestas de partículas todavía más elementales, pero, independientemente de ese nivel de elementalidad, del estudio de las propiedades de los agujeros negros se han deducido los límites absolutos que acotan la información que cabe en una región determinada del espacio. Teniendo en cuenta que esos límites dependen de la materia y energía contenida en ese espacio es asombroso que se pueda deducir un límite sin conocer ni siquiera, con absoluta certeza, el último componente de la materia.
Sea cual sea el último componente de la materia existe un límite en la información que es capaz de soportar una región determinada del espacio y curiosamente ese límite depende directamente de la superficie capaz de englobar esa región. Si esa superficie la consideramos como el área del horizonte de sucesos de un agujero negro, es como si la información estuviese escrita sobre esta superficie, de suerte que cada bit (cada 0 ó 1 de la codificación digital) correspondiera a 4 áreas de Planck (10 ^–66 centímetros cuadrados), como en una especie de holograma.

Arrugar, romper o fracturar la continuidad clásica para aumentar la capacidad de un objeto de ocupar espacio, o enrollarlo para disminuir dicha capacidad. He aquí la cuestión, aparentemente trivial, que puede llevarnos a entender mejor el propio nacimiento de nuestro Universo.


Geometría fractal. La geometría sobre puntos, rectas, planos y demás objetos geométricos que se nos enseña en la escuela no es más que una abstracción, muy útil, sobre objetos reales de nuestra vida cotidiana. Cualquier superficie de la vida real, por muy perfecta que nos parezca nunca es un plano geométrico perfecto. Conforme la observemos con más y más aumento repararemos en un montón de imperfecciones que la van alejando de la geometría euclidea que nos han enseñado y la acercan, cada vez más, a una nueva geometría más cercana a la realidad que llamamos geometría fractal.


Imaginemos que en un espacio de tres dimensiones nos encontramos con una especie de diablillo virtual moviéndose con total libertad y tratando de recubrirlo por completo. Su trayectoria será una línea quebrada, con infinidad de recovecos, cuyo fin será pasar por todos los puntos del espacio. Como línea de trayectoria que es su dimensión topológica será la unidad, pero su capacidad de recubrir el espacio nos indica que estamos ante un objeto geométrico diferente a los típicos objetos euclidianos que hemos estudiado en la escuela, como el punto, la línea o el plano de dimensiones cero, uno o dos. Este tipo de objetos es lo que Benoît Mandelbrot llamaba en 1975 objetos fractales, concepto que había inventado a partir del adjetivo latino “fractus” (roto, fracturado). Posteriormente, en 1982, publicó el libro “The Fractal Geometry of Nature”, en donde proponía : “Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”


Dimensión fractal. La dimensión que define la trayectoria del diablillo ya no es la dimensión clásica de una línea (la unidad), sino que a ella debemos añadir un coeficiente dimensional que nos indica su grado de irregularidad.La suma de los dos coeficientes nos da un nuevo valor dimensional al que llamamos dimensión fractal. En este caso hacemos la siguiente suma: dimensión geométrica clásica (1) + coeficiente dimensional (2) = dimensión fractal (3).


Dependencia con la distancia. Hay un detalle más que nos da una idea del movimiento que lleva el diablillo. La distancia total que recorre al cabo de N de sus pasos debe ser sólo la raíz cúbica de su alejamiento efectivo a un punto arbitrario, es decir para alejarse una distancia efectiva d, de un punto cualquiera, su recorrido total deberá ser d ³. Este exponente (3) nos está dando, también, la dimensión fractal del movimiento. En cierta forma es lógico que sea así, pues el volumen que intersecta y recubre la trayectoria es del orden del cubo de su distancia característica (Volumen = Lado³).


¿Que tiene que ver todo esto con las dimensiones enrolladas? Supongamos una manguera vista desde una distancia de doscientos metros. A todos los efectos prácticos sólo vemos una línea y una sola dimensión característica, su longitud. Un objeto tridimensional, aunque con dos dimensiones significativas en el orden práctico se ha convertido en una linea unidimensional. Mejor aún, para poder visualizar más fácilmente la "oposición" geométrica a la que se refiere el título del post, imaginemos una lámina superfina (despreciamos su espesor) de un material moldeable. Cuando la lámina está perfectamente extendida, y sin arrugas, tenemos un objeto geométrico con dos dimensiones. Si la arrugamos y comprimimos convenientemente hasta conseguir una bola tendremos un objeto con tres dimensiones significativas, por lo que habremos aumentado en una su dimensión inicial. Si, por el contrario, la enrollamos perfectamente hasta formar un tubo muy fino obtendremos un objeto unidimensional, una línea, y habremos disminuido en una su dimensión inicial. En cierta forma vemos que realizamos operaciones opuestas, geométricamente hablando. Una suma dimensiones (fractalizar) y la otra resta (enrollar).


¿Tiene algún sentido práctico todo esto? Puede tenerlo, y mucho. Imaginemos un fractal con una dimensión típica Dfr cuyas características dependen de la distancia, como hemos visto dos párrafos antes, según d^Dfr. Si lo recluimos en una trampa cuántica en dos dimensiones (hemos disminuido en una las dimensiones del espacio), su nueva dependencia será d^Dfr-1. Será un fractal más estable, menos irregular en la medida en que también es más pequeña su dimensión fractal. Siempre de forma hipotética, de forma casual me di cuenta de que en un universo emergente esta simple cuestión geométrica pudo tener mucho que ver en la estabilidad que presenta, en la actualidad, el vacío cuántico. Para un vacío cuántico cuyas fluctuaciones de energía fueran un fractal de dimensión (3 + 6), unas supuestas dimensiones enrolladas que nos dejaran un espacio de (9 - 6) dimensiones (6 enrolladas) contribuirián decisivamente a su estabilidad. En el momento clave en que debían quedar definidas las constantes típicas de este universo (la propia naturaleza del cuanto), las supuestas dimensiones enrolladas pudieron tener un papel primordial, puramente geométrico, en su definitiva fijación. (Ver en la Revista Elementos de la Universidad autónoma de Puebla, un esbozo de esta teoría)

Los hallazgos de Boltzman fueron esenciales para los trabajos desarrollados, más de cincuenta años después, por el Premio Nobel Ilya Prigogine sobre los sistemas lejos de equilibrio, sistemas que nos engloban a nosotros y a todos los seres vivos. También han permitido entender la llamada flecha del tiempo y los sistemas irreversibles que son, prácticamente, todos los sistemas reales, y para entender el caos y el orden que puede derivar de él.


Cuando estudiaba la carrera tuve que elegir entre una serie de asignaturas optativas. Entre ellas había una que tenía toda la pinta de ser una “maría”, parecía seguro que consistiría en entregar un trabajito y aprobado seguro. La asignatura en cuestión se llamaba : La Historia de la Física. Así que la cogí y me puse a reunir todo el material bibliográfico que necesitaba. Pronto me di cuenta de que nada era como me lo había imaginado. Tuve que dedicar bastante más tiempo del que creía, y esa asignatura me hizo reflexionar no sólo sobre la física y su historia, sino sobre las personas y los acontecimientos tan diversos que habían influido en su desarrollo. Los científicos famosos se volvieron, desde entonces, personas de carne y hueso enclavadas en una época de la Historia y no simples nombres asociados a sus fórmulas.

Entre todos me impresionó Ludwig Boltzmann, nacido en Viena en 1844 en el seno de una familia acomodada que pasó su niñez en un entorno tranquilo siempre ayudado por su devota madre Katharina Paurnfeind. Era un estudiante ambicioso e impaciente, y en sus años mozos su interés estuvo centrado en la naturaleza, coleccionando y clasificando insectos, y estudiando las plantas. Fue atomista en una época en que muchos de sus colegas más ilustres estaban en contra de esa idea que ahora consideramos tan normal y lógica. Tenía una personalidad compleja, atormentada y fácilmente susceptible a cualquier crítica a sus convicciones, era una especie de panteísta y un entusiasta de Darwin.

En la relación entre sus muchos opositores científicos su carácter tendente a la misantropía no le ayudó en nada y contribuyó a que su vida terminara en fatal desenlace. El más enconado de sus colegas fue Wilhelm Ostwald, con el que mantuvo fuertes discusiones en algunos de los congresos en los que se reunían. Tanto él como otros no entendieron bien la base estadística de los razonamientos de Boltzmann. Ostwald recibió el Premio Nobel de Química en 1909, tres años después de que el desdichado Boltzmann se quitara la vida en un triste episodio, aprovechando que su mujer y sus dos hijas lo habían dejado solo y se bañaban a escasos metros de su casa de veraneo en Duino, cerca de Trieste. También, tres años después de su muerte los trabajos de Jean Perrin sobre las suspensiones coloidales (1908-1909) confirmaron finalmente las ideas de Boltzmann y convencieron a la comunidad científica de la existencia de los átomos.

A partir de la idea de que la materia está formada por átomos, como su parte más minúscula (aunque ahora sabemos que no son los constituyentes más pequeños), imaginó los estados macroscópicos de un sistema como derivados de otros microscópicos que afectan a los átomos y moléculas. Supuso que los átomos se podían mover de forma aleatoria a lo largo de las tres dimensiones y que podían ocupar una serie de niveles de energía. A partir de estas premisas pensaba que cada estado macroscópico era el resultado de una serie de estados microscópicos asociados con una determinada posibilidad. Cuanto mayor fuese esa probabilidad mayor sería la tendencia del sistema a ocupar ese macroestado. Bolztmann gracias a esas ideas fue pionero y un artífice esencial de una nueva disciplina física que se llamó Mecánica Estadística.

En base a estas ideas descubrió una expresión muy conocida e importante que relaciona la entropía de un sistema, o su tendencia natural al desorden, con una serie de microestados que afectan a sus mínimos componentes : S = K ln W .
Donde S es la entropía, K es una constante de proporcionalidad llamada de Boltzmann y ln W es el logaritmo natural del número de microestados asociados a una determinada configuración macroscópica del sistema. Uno de los aspectos más importantes que describe esta ecuación es la posibilidad de dar una definición absoluta al concepto de la entropía. Mientras que en la descripción clásica de la termodinámica, carece de sentido hablar del valor de la entropía de un sistema, siendo relevantes sólo los cambios en la misma, en la teoría estadística se permite definir la entropía absoluta de un sistema.

Un ejemplo sencillo nos ilustrará sobre el significado de la entropía y de la expresión de Boltzmann. Supongamos un saquito lleno de monedas. Si las ordenamos sobre la mesa, todas juntas con la cara hacia arriba, hemos conseguido que el sistema tenga una entropía mínima (cero) que se corresponde con un máximo orden. Sólo existe un microestado asociado a esta configuración {todo caras} y el logaritmo de la unidad es cero. Sería similar al orden que tiene una estructura cristalina a cero grados absolutos, sólo una configuración posible, máximo orden y entropía cero. Si volvemos a poner las monedas en el saquito, lo movemos bien, y las dejamos caer desordenadamente sobre la mesa el estado macroscópico que obtenemos está asociado a muchos estados microscópicos diferentes aleatorios. Cada vez que repitamos la operación obtendremos la misma sensación de desorden y nos será difícil distinguir la configuración actual de otra anterior. En este caso el valor de W de configuraciones es máximo y por tanto también la entropía, y mínimo el orden. Este estado es similar al llamado equilibrio térmico de un sistema, el de máximo desorden al que tienden de forma natural todos los sistemas aislados a los que no se les aporta orden desde el exterior.


Los hallazgos de Boltzman fueron esenciales para los trabajos desarrollados, más de cincuenta años después, por el Premio Nobel Ilya Prigogine sobre los sistemas lejos de equilibrio, sistemas que nos engloban a nosotros y a todos los seres vivos. También han permitido entender la llamada flecha del tiempo y los sistemas irreversibles que son, prácticamente, todos los sistemas reales, y para entender el caos y el orden que puede derivar de él.

Cuando hice el trabajo en la carrera estaba sugestionado por su muerte que la atribuí, de forma un tanto romántica e idealista, a la incomprensión de sus colegas hacia sus nuevas ideas revolucionarias, sin tener muy en cuenta sus posibles problemas psicológicos. Sea como fuera siempre veré a Boltzmann como un hombre, vulnerable como lo somos todos, luchando con su talento, su ciencia y sus desdichas por encontrar la verdad detrás de casi-una-quimera, como son todas las verdades científicas antes de ser confirmadas.

De mi colaboración con Libro de notas : Ciencias y letras.

El azar, el puro azar tiene su "ritmo" justo de cambio. Ni más, ni menos. Lo podremos "tentar" ofreciéndole más y más grados de libertad ... él los tomará, pero no conseguiremos ni retrasar, ni acelerar su ritmo bajo ningún concepto. Siempre seguirá fiel a sus "principios", que básicamente son muy sencillos. En cierta forma nos está dando una lección que deberíamos aprender. Referido al movimiento browniano y a su capacidad de recubrir dos dimensiones. Cuando lo trasladamos a dimensiones superiores sigue desplazándose por todas las dimensiones posibles, pero sólo es capaz de seguir recubriendo dos, contra lo que podría parecer.

Cada vez que lanzamos una moneda al azar puede salir cara o cruz, independientemente del resultado que hayamos obtenido en un lanzamiento anterior. Así de simples son las leyes que rigen el puro azar.


A partir de los resultados que vayamos obteniendo en sucesivos lanzamientos podemos confeccionar una tabla como la de la figura, que se corresponde con una tanda de 100 lanzamientos. Esta tabla y la que vamos a considerar, que en general puede contener miles de resultados es algo estático, sin movimiento, pero nos ayudará a desentrañar los entresijos del movimiento al azar que llamamos movimiento browniano, en honor al naturalista escocés Robert Brown que lo observó a principios del siglo XIX, cuando estudiaba suspensiones en el agua de granos de polen y esporas de musgos. Es un movimiento en zig zag, arbitrario, hacia cualquier dirección posible de desplazamiento.

A partir de una tabla, como la de la figura, tomaremos parejas consecutivas de unos y ceros.La primera parte de la pareja será la x y la otra la coordenada y. Los unos significarán "avanza 1" y los ceros querrán decir "retrocede 1". En un plano partiremos del punto (0,0) y conforme vayamos traduciendo la tabla a movimientos en el plano estaremos representando el movimiento aleatorio que hemos llamado browniano.



Azar y dimensión fractal
En un movimiento lineal cada uno de los puntos de su trayectoria viene definido por un solo número que nos indica su distancia al origen, se habla de que tiene una dimensión (el largo). En un plano necesitamos dos números para identificar cada uno de sus puntos, las coordenadas x/y o el largo y el ancho, por lo que decimos que tiene dos dimensiones. El movimiento browniano, como movimiento lineal que es tiene dimensión topológica 1, pero asombrosamente es capaz de recubrir el plano, de llenarlo. De ahí que digamos que su dimensión como fractal sea 2, porque es capaz de recubrir un espacio de dimensión 2. A las figuras tan tortuosas e intrincadas como este movimiento aleatorio, Benoit Mandelbrot las llamó fractales, del latín "fractus" que significa fracturado o roto, discontinuo.Y este movimiento es, sin lugar a dudas, muy buen representante de esta nueva categoría de objetos geométricos omnipresentes en la naturaleza.

Cada momento el movimiento aleatorio avanza o retrocede en sus coordenadas x ó y, independientemente de lo que hiciera en el instante anterior, tiene absoluta libertad para desplazarse a través de cada una de las coordenadas. Esta idea se tiende a trasladar cuando el movimiento ocurre en un espacio de tres dimensiones como nuestro espacio ordinario, o de más dimensiones, y es correcta. De la misma forma tendemos a pensar que, también, en un espacio tridimensional el movimiento browniano será capaz de llenarlo, o cubrirlo, por completo. Esa es la idea que tenía yo al empezar a estudiarlo y la idea que ha tratado de defender algún lector, en alguna ocasión, a capa y espada, pero como demostraremos es una idea equivocada.

La magia del número 2
El valor 2 que caracteriza la dimensión fractal de este movimiento, también se puede definir de una manera muy intuitiva: necesita realizar N² pasos para alejarse de un punto cualquiera de referencia, sólo, N pasos efectivos. En tres dimensiones debería efectuar N³ pasos totales para alejarse, sólo, N pasos efectivos, pero como veremos eso no depende del número de dimensiones o grados de libertad sino de una característica independiente de las propias del espacio en que se mueve. Para demostrar esto nos fijaremos en la definición intuitiva que relaciona la distancia total con la efectiva.


La distancia total que recorre la partícula animada por un movimiento browniano es proporcional al número de pasos N, sin embargo la distancia efectiva se encontraría después de sumar los desplazamientos positivos y negativos. Para definir el resultado de esa suma existe una medida de dispersión apropiada que llamamos desviación típica, que para la distribución binomial con la que se corresponde el azar como lo hemos considerado resulta ser la raíz_cuadrada(N/4), pues es igual a raíz_cuadrada(Npq), siendo n = p = 1/2, ya que la posibilidad de que salga 0 ó 1 es la misma, y su suma debe ser la unidad.

Después de N pasos, la distancia efectiva para cada dimensión, considerada independiente, será raíz_cuadrada(N/4). Si consideramos 3 dimensiones la distancia efectiva será raíz_cuadrada(3 N/4). Esta magnitud la comparamos con la distancia total recorrida después de los N pasos: N raíz_cuadrada(3). Para N suficientemente grande sólo resulta significativa la comparación entre N y raíz_cuadrada de N, independientemente de que multipliquemos los dos términos por 3, 4, 5, ... d, cualquiera que sean las dimensiones del espacio considerado. De la comparación anterior resulta el valor de 2 de su dimensión fractal, o la consideración de realizar N² pasos totales para sólo conseguir N efectivos.

Recapitulando
El movimiento browniano sólo es capaz de recubrir un espacio de 2 dimensiones (un plano). En un espacio de 3 ó más dimensiones su "ritmo" de distanciamiento de cualquier punto arbitrario, que consideremos como referencia, no es lo suficientemente "lento" para poderlo recubrir. Para recubrir un espacio de 3 dimensiones su ritmo de distanciamiento debería ser de N³ pasos totales para recorrer sólo N (dimensión fractal 3), para un espacio de 4 dimensiones serían N⁴ pasos totales para sólo N efectivos, y así sucesivamente. Sin embargo, el ritmo del movimiento lo imprime la desviación típica de la distribución binomial, que no depende de la dimensión del espacio, y cuyo valor es invariablemente igual a la raíz_cuadrada (N/4). Por eso, sea cualquiera el espacio considerado con tres o más dimensiones la dimensión fractal del movimiento browniano seguirá siendo 2. Para aumentar la dimensión fractal del movimiento deberíamos conseguir que cada nuevo paso tuviera "memoria" del resultado de los pasos anteriores y así disminuir su "ritmo" de alejamiento. Es como si en una carrera de 2 Km. nos obligaran a cumplimentar 200 tareas diferentes a lo largo de diferentes puntos del trayecto. Para una cierta velocidad conseguimos cumplimentar sólo 100 tareas y nos damos cuenta que para cumplimentar las 200 debemos disminuir el ritmo, o de lo contrario será imposible. De la misma manera el azar tiene su "ritmo" y ese ritmo sólo le permite recubrir un plano, no un espacio de 3 ó más dimensiones.

La resistencia a la compresión de los átomos, al contrario de lo que pueda parecer, es un efecto cuántico. Al comprimir un material, los átomos cada vez están más próximos y se obliga a confinar a sus electrones en regiones cada vez más pequeñas. Al disminuir el espacio, por el principio de incertidumbre, los electrones reaccionan moviéndose cada vez más rápido ( la variación de [espacio] más pequeña implica que el producto [masa] x [velocidad] sea más grande), lo que conlleva una mayor energía cinética. Se necesita una energía cada vez mayor para continuar comprimiendo los átomos. Consecuencia: la resistencia a la compresión por parte de los átomos es un efecto cuántico y no clásico. Curiosamente, la propia cohesión de la materia no se puede explicar con la física clásica. Atendiendo a principios puramente clásicos la estabilidad de la materia que conocemos sería, practicamente, imposible. ( Ver)

La ecuación de Schrödinger
De acuerdo con el principio de incertidumbre, las partículas no tienen posiciones y momentos bien definidos. En general, esta teoría no predice un único valor como resultado de una medida. En su lugar, predice un conjunto de posibles resultados cada uno con una cierta probabilidad. El comportamiento de una partícula viene descrito por la función de onda asociada, que, a su vez, está relacionada con la probabilidad de que la partícula esté en un estado determinado. La ecuación de Schrödinger proporciona un método para determinar estas probabilidades. Si en un momento dado, conocemos la función de ondas, la ecuación de Scherödinger predice su evolución de modo totalmente determinista. El indeterminismo sólo aparece cuando tratamos de medir en qué estado se encuentra la partícula.

Electrodinámica cuántica
Las partículas subatómicas suelen moverse a velocidades próximas a la luz, por lo que su descripción cuántica tiene que ser compatible con la relatividad especial. La electrodinámica cuántica cumple estos requisitos, y suministra unos resultados de una coincidencia extraordinaria con los experimentos en todo lo que se refiere al estudio de la interacción de la luz con la materia o, más específicamente, de la luz con los electrones. En esta teoría, sólo interviene la interacción electromagnética, que es la que juega un papel relevante. Una de las grandes predicciones de esta teoría fue realizada en 1929 por Dirac sobre la existencia de la antimateria.


Unificación
La mecánica cuántica ha conducido a una visión más unificada al considerar las partículas y los campos, como el gravitatorio y el electromagnético. Cuánticamente, la energía y el momento del campo electromagnético vienen en paquetes (cuantos), que denominamos fotones, y que se comportan como partículas, aunque sin masa en reposo. En el caso del campo gravitatorio, los cuantos se llaman gravitones. La distinción entre fuerza y materia (partículas de fuerza o bosones y de materia o fermiones(*)) se ha hecho menos rígida; cualquier partícula puede utilizarse como cuerpo de prueba sobre la que actúan las fuerzas y, recíprocamente, puede actuar como partícula mediadora dando lugar a fuerzas.

Sin embargo existe una dificultad para unificar la gravitación con las otras tres fuerzas, pues el principio de incertidumbre no se ha logrado incorporar a la formulación de la interacción gravitatoria (su cuantificación da lugar a la aparición de infinitos). Como paso previo se necesita combinar la relatividad general, que es la teoría más completa sobre la gravitación, con dicho principio. Esta combinación puede hacer que desaparezca la singularidad predicha por la relatividad general en el origen del Universo y que los agujeros negros permitan que algo pueda escapar de su interior (gravedad cuántica). Una teoría en que se combine la cuantización con la gravedad, requiere de un espaciotiempo tanto deformable como probabilístico, lo que se ha hecho difícil de poder concretar. En la teoría de las supercuerdas, la fusión es lograda imaginándose que el último eslabón de la materia está constituido por diminutas cuerdas. En la teoría de la gravedad cuántica de lazos, la fusión es intentada imaginándose que el espacio en sí mismo consiste en diminutos lazos móviles. Se ha considerado la posibilidad de que el espaciotiempo sondeado a diminutas escalas de longitud esté cuantizado en discretos y diminutos volúmenes semejantes a pliegues conformados por pequeños lazos.

En palabras del propio Einstein:" Pensamientos e ideas, no fórmulas, constituyen el principio de toda teoría física. Las ideas deben, después, adoptar la forma matemática de una teoría cuantitativa, para hacer posible su confrontación con la experiencia". Detrás de cualquiera de las ideas válidas que nos harán avanzar, se encuentran principios de simetrías. Estos principios permiten establecer que las leyes de la física no dependen de la orientación ni de la posición. Las leyes deben adoptar la misma forma para observadores que se muevan o no a velocidad constante, sea cual sea su sistema de referencia.La teoría final del todo descansará en principios complejos de simetría capaces de unificar las cuatro interacciones y la mecánica cuántica.

(*)Las partículas de fuerza o bosones se llaman así en honor de Satyendranath N.Bose. Los fermiones o partículas de materia deben su nombre a Enrico Fermi.

Lo continuo y lo discreto
Ciertas magnitudes varían de forma continua, mientras otras lo hacen de forma discreta o discontinua. Al pesar grandes cantidades de granos de arroz, se pueden considerar sus masas como continuas, aunque es evidente su composición granular. Sin embargo, si analizamos pequeñas cantidades de arroz, usando una balanza de gran precisión, tenemos que tener en cuenta el hecho de que la masa varía a saltos; la magnitud mínima de cada salto es el peso de un grano de arroz, aproximadamente 0,025 gramos. Cada uno de estos pasos mínimos indivisibles es lo que denominamos cuantos elementales de la magnitud en cuestión. En este ejemplo, el peso de un grano de arroz sería el cuanto elemental.

A principios del siglo XX, Max Planck sugirió que la radiación electromagnética estaba formada por pequeños paquetes, o cuantos de energía indivisibles, que, posteriormente, se denominaron fotones. Su valor sería igual a una constante llamada h (mínima acción de Planck) multiplicada por la frecuencia de la radiación. Algunos años más tarde Einstein, basándose en esta idea, proporcionó una explicación satisfactoria de la extracción de electrones de un metal por la luz que incide sobre el mismo, en lo que se llama efecto el efecto fotoeléctrico.

Principio de complementariedad
En general, el comportamiento de las partículas subatómicas no se puede explicar con los conceptos clásicos de partículas y ondas del mundo macroscópico. Bohr expresó esta idea básica nueva con su principio de complementariedad. La concepción corpuscular y la descripción ondulatoria, que siempre se habían creído excluyentes, son complementarias. Se necesitan los dos conceptos para tener una descripción completa sobre las partículas subatómicas, tales como protones o electrones, pues se comportan, según las circunstancias, como ondas o como partículas. Pueden difractarse por una red cristalina, lo que constituye un fenómeno típicamente ondulatorio. De acuerdo con la hipótesis de De Broglie, toda partícula tiene asociada una onda, cuya longitud característica es inversamente proporcional a su momento lineal (masa x velocidad).

Principio de incertidumbre
Las magnitudes asociadas a las partículas subatómicas no están siempre bien definidas. Por ejemplo, si conocemos la posición de un electrón o un fotón, su momento lineal no está bien definido. Podemos realizar un experimento para encontrar la posición y otro para medir su momento, pero estas dos medidas se excluyen mutuamente; esto es, no se pueden determinar simultáneamente la posición y el momento de una partícula cuántica. Este hecho tan asombroso constituye el llamado principio de incertidumbre de Heisenberg.

Para entender las razones de esta incertidumbre, consideremos que deseamos hallar la posición de un electrón. Para saber dónde se encuentra necesitamos observarlo enviando, por ejemplo, un fotón que se refleje en el electrón. Pero el electrón tiene una masa muy pequeña, por lo que el fotón tiene suficiente energía para hacerlo retroceder en una dirección impredecible. Por tanto, no importa lo cuidadoso que seamos al tratar de medir la posición exacta del electrón, siempre introduciremos una indeterminación en la velocidad y momento del electrón.

Una forma de establecer este principio es afirmar que las cantidades medibles están sometidas a fluctuaciones impredecibles que hacen que sus valores no estén bien determinados. Las magnitudes aparecen reunidas en parejas incompatibles tales como posición y momento, energía y tiempo, etc. La incertidumbre en la medida de una de estas magnitudes multiplicada por la incertidumbre de la correspondiente en la pareja no puede ser nunca menor que h. Puesto que h tiene un valor muy pequeño, el grado de indeterminación es sólo importante en el mundo subatómico, aunque, en principio, se aplica a todos los sistemas. Para la física clásica la constante h no tiene ningún sentido, por lo que la incertidumbre puede ser, perfectamente, cero (como cero es la mínima acción considerada para la física clásica de Newton).

Principio de incertidumbre para la energía. Pares de partículas virtuales
De este principio se deriva que cuanto menor es el tamaño de la región que queremos explorar, mayor es el momento y, en consecuencia, la energía para poder hacerlo. Por esta razón, para estudiar regiones muy pequeñas se necesitan partículas con una gran energía; de ahí, la necesidad de contar con grandes aceleradores de partículas.


Análogamente, existe una incertidumbre relacionada con la energía y el tiempo. No podemos conocer con toda precisión la energía que tiene un sistema mecanocuántico en un instante determinado. La incertidumbre en el valor de la energía del sistema multiplicado por la incertidumbre del valor del instante de tiempo en que se realiza la medida tiene que ser nuevamente mayor que la constante de Planck. Si tenemos en cuenta la famosa ecuación de equivalencia entre masa y energía E = mc², la incertidumbre en la medida de la energía se traduce en incertidumbre en el valor de la masa del sistema. En un instante muy corto de tiempo, no podemos estar seguros de cuál es la masa de nuestro sistema. La materia puede aparecer y desaparecer espontáneamente en el vacío. Puesto que siempre que aparece una partícula de materia se debe crear otra de antimateria, el tiempo durante el cual puede existir el par partícula-antipartícula es extraordinariamente corto; tanto menor cuanto mayor es la masa de las partículas. Aplicando la expresión del principio de incertidumbre para un par electrón-positrón se obtiene que este intervalo es de 6.5x10^-22 seg. Este proceso puede ocurrir en cualquier sitio y en cualquier instante de tiempo, pero sólo durante un intervalo de tiempo extraordinariamente corto. Por ello es imposible una observación directa de estas partículas, aunque se pueden detectar sus efectos. Esta es la razón por lo que a estos pares de partícula-antipartícula se les da el nombre de virtuales.

Del libro "Física para jusristas, economistas... y demás gente curiosa", de Roberto González Amado (Catedrático de física aplicada en la Universidad Carlos III de Madrid). Ed. Critica. Barcelona 1996.